Formulación de la Desviación Estandar

Formulación:
La varianza representa la media aritmética de las desviaciones con respecto a la media que son elevadas al cuadrado.

Si atendemos a la colección completa de datos (la población en su totalidad) obtenemos la varianza poblacional; y si por el contrario prestamos atención sólo a una muestra de la población, obtenemos en su lugar la varianza muestral. Las expresiones de estas medidas son las que aparecen a continuación.
Expresión de la varianza muestral:

Segunda forma de calcular la varianza muestral:

demostración

podemos observar que como
(sumamos n veces 1 y luego dividimos por n)
y como obtenemos Expresión de la cuasivarianza muestral (estimador insesgado de la varianza poblacional):

Expresión de la varianza poblacional:

donde μ es el valor medio de {Xi}

Expresión de la desviación estándar poblacional:

El término desviación estándar fue incorporado a la estadística por Karl Pearson en 1894.

Por la formulación de la varianza podemos pasar a obtener la desviación estándar, tomando la raíz cuadrada positiva de la varianza. Así, si efectuamos
la raíz de la varianza muestral, obtenemos la desviación típica muestral; y si por el contrario, efectuamos la raíz sobre la varianza poblacional, obtendremos la desviación típica poblacional.

Desviaciones estándar en una distribución normal.

Expresión de la desviación estándar muestral:

También puede ser tomada como, con a como y s como además se puede tener una mejor tendencia de medida al desarrollar las formulas indicadas pero se tiene que tener en cuenta la media, mediana y moda

Interpretación y aplicación
La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio.

Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o
variación esperada con respecto a la media aritmética.
Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7.
Sus desviaciones estándar son 8,08,5,77 y 1,33, respectivamente.
La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.
La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre.
La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas.Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico,
la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia:
si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas
contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo
teórico fuera correcto. La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central;
muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio).

Ir a:
1. La Desviación Estándar o Típica. (definición y videos)
2. Formulación de la Desviación estándar.
3.Otra Definición de la Desviación estándar y ejercicios.

La Desviación estándar elaborado por Oscar Belalcazar
Cibergrafia: Internet